📊 黎曼和

定積分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 的字面意思就是「$f$ 在 $[a,b]$ 上面的累積量」 — 通常想像成「曲線下的面積」。

但「面積」本身的嚴格定義也不容易。Riemann 的解法是：把區間切成 n 個小段，每段乘上函式在那點的高度，全部加起來：

那個 $x_i^{\ast }$ 是「在第 i 段裡選一個取樣點」— 可以是左端、右端、或中點。當函式單調時，左端永遠低估、右端永遠高估。中點通常最準（誤差是 $O(1/n^2)$ 而不是 $O(1/n)$）。

定積分就定義為「當 $n$ 趨於無限大時，這個和的極限」：

🎮 動手試試

1. 預設：$f(x)=x^2$、區間 $[-1,1]$、中點、n = 8。真實值是 $2/3\approx 0.667$。把 n 滑到 200，誤差應該掉到 0.0001 以下。
2. 切到「左端」或「右端」 — 因為 $x^2$ 在 $[-1,1]$ 是對稱的，這兩個其實會給一樣的結果。試試切到 $[0,1]$（非對稱區間），左/右端就有差別了。
3. 選 $\sin (x)$、區間 $[-\pi ,\pi ]$（約 -3.14 到 3.14）。理論上是 0，因為正負面積對稱抵消。動畫上紅色和黃色矩形面積相等。
4. 選 $e^{-x^2}$（高斯）、區間 $[-3,3]$、n = 100。結果 ≈ $\sqrt{\pi }\approx 1.7725$ — 這就是統計裡常態分布的歸一化常數。

💡 為什麼中點比較準？

對足夠平滑的函式，中點法的誤差是 $O(h^2)$（h 是矩形寬度），而左右端是 $O(h)$。直覺是：中點選的高度，剛好「補償」了矩形上半部超出曲線、下半部低於曲線的部分。這就是數值積分的第一條規則 — 對稱性會抵消誤差。

更高階的方法（梯形、Simpson、Gauss 求積）就是把這個觀察推到極致：用越來越聰明的取樣權重，讓誤差階數越來越高。

🚀 為什麼工程上還是用這個

機率密度、訊號能量、物理量積分 — 很多時候沒有解析解，必須用數值積分。網頁、遊戲、模擬都會用到。蒙地卡羅積分（隨機取樣）就是黎曼和的隨機版，特別適合高維度。

下一頁我們會看到，雖然這個定義很笨，但它跟導數有一個超漂亮的關係 — 這個關係讓我們不用真的加 200 個矩形，也能算出積分。