🔄 微積分基本定理

上一頁我們用「切矩形再加」算出積分。但這太慢了 — 想算 ${\int }_0^1{x}^2$ 居然要加 200 個矩形才夠準。微積分基本定理（FTC）給了一個捷徑。

把上界當變數，定義「面積累積函式」：

注意這裡有兩個重點：

• $a$ 是固定的起點 — F 在 $x=a$ 時值為 0。
• 變數叫 $t$ 不叫 $x$ — 因為 $x$ 已經被佔用在上界。這只是命名習慣，$t$ 是「啞變數」，會被積分掉。

FTC 第一部分說的就是：

翻譯：這個累積面積函式的瞬間增長率，就是當下被積函式的高度。

🎮 動手試試

1. 把 $x$ 從 $a$ 往右滑。上面塗色區一點一點變大，下面 F 點往上爬。注意右邊面板的 $f(x)$ 和 $F^{\prime }(x)$ 始終相等。
2. 把 $x$ 滑到「$f(x)$ 跨過 0」的位置（例如 $\sin$ 在 0、π、2π）。$F^{\prime }(x)=0$ 代表下面 F 曲線正好水平 — 那就是 F 的局部極值點。
3. 選 $f(t)=\sin (t)$、$a=0$，把 $x$ 滑到 $\pi \approx 3.14$。結果應該是 $1-\cos (\pi )=2$。
4. 把 $x$ 滑到比 $a$ 小（粉色塗色） — F 變成負值。這是因為「往回積分」要加負號：${\int }_a^x=-{\int }_x^a$。

💡 為什麼這居然成立？

直覺證明：考慮 $F(x+h)-F(x)$ — 就是從 $x$ 到 $x+h$ 多出來的那塊面積。如果 $h$ 很小，這塊面積就近似一個寬 $h$ 高 $f(x)$ 的長條，面積大約 $f(x)\cdot h$。

所以：

這就是 FTC 的全部證明骨架（嚴格版會處理「近似」的誤差，但骨架就是這個）。

🚀 為什麼這超強

FTC 第二部分（牛頓–萊布尼茲公式）說：要算 ${\int }_a^{b}f$，只要找到任何一個 $G$ 使得 $G^{\prime }=f$，然後算 $G(b)-G(a)$ 就好了。

這是高中積分的核心招式 — 把「加 200 個矩形」變成「找原函式再相減」。例如 ${\int }_0^1{x}^2=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$，因為 $(x^3/3{)}^{\prime }=x^2$。從黎曼和的笨方法瞬間變優雅。

但別忘了：不是每個函式都有「初等」原函式。$e^{-x^2}$ 就沒有 — 那種情況下還是要回去用黎曼和（或更好的數值積分法）。