🚧 量子穿隧 — 解含時薛丁格方程

前一頁是從已知分布抽樣，這一頁不是。這裡逐步積分的是含時薛丁格方程（取 ħ = m = 1）：

✂️ split-step：把難的一分為二

動能項在動量空間是對角的（微分變成乘 $ik$）， 位能項在位置空間是對角的。兩個都容易，只是不在同一個空間。 於是就在兩個空間之間跳（Strang 分裂）：

每一步就是兩次逐點相乘加兩次 FFT。這個方法天生是么正的 — 每個因子的模都是 1，所以機率不會憑空增減。右邊那個「機率總和」永遠是 1.000， 而且不是靠事後歸一化硬拉回來的。

兩側灰色區域是吸收邊界。FFT 讓格子變成週期性的，跑出右邊的波會從左邊繞回來、 污染反射率的量測。所以邊緣有一個平滑的海綿把它吸掉，而吸走的機率會記在正確的那一邊， R + T 才會加回 1。

🧱 為什麼過得去

在障礙裡，能量低於位能，於是 $k^2=2(E-V_0)<0$ —— 波數變成虛數。 波不再震盪，改成指數衰減：

關鍵是：指數衰減不會變成 0。只要牆是有限厚，另一邊就還剩一點振幅， 接回去就是一個往右跑的波。穿透率大致像 $T\sim e^{-2\kappa w}$ —— 對寬度是指數敏感， 對高度只是根號裡的差。所以「又高又薄」那個預設會比你直覺的好穿很多。

完整的矩形障礙公式（右邊面板拿來比對的就是它）：

🎯 反過來也怪：能量夠了也可能被彈回

古典直覺說 E > V₀ 就一定過。錯。障礙的兩個邊界各自會反射一次，兩個反射波會干涉 — 大多數情況它們部分相消、部分相長，結果 T < 1。而當 $k^{\prime }w=n\pi$（$k^{\prime }=\sqrt{2(E-V_0)}$）時， 兩個反射剛好完全抵消，T = 1，障礙變成完全透明。

這叫共振穿透，和光學上的抗反射鍍膜是同一個機制。 「共振穿透」那個預設就設在 n = 1 上。

🎮 動手試試

1. 預設「E < V₀」跑完一次。紅線（E）明顯在黃色障礙下面，可是右邊還是分到了機率。看綠色那段長條。
2. 盯著下方的「障礙區放大」面板（可以按暫停）。障礙只佔主畫面寬度的 1%，所以牆內發生什麼事必須放大才看得到：在牆內 ψ 不震盪，是一條往下掉的指數曲線。注意那個面板是依自己視窗縮放的，右上角會誠實告訴你這裡的峰值只有全域的百分之幾。
3. 把寬度 w 從 1.6 拉到 3.2。T 掉一個數量級以上。再拉回 0.8，T 暴增。指數敏感就是這個意思。
4. 試「共振穿透」。E 在 V₀ 上方，T ≈ 0.96 — 障礙幾乎透明。把 w 從 2.0 拉到 2.5，T 掉到 0.87；拉到 3.0 剩 0.84。離開 k′w = π 的條件就開始漏。
5. 為什麼共振那組用比較矮、比較薄的障礙？ 因為又高又寬的障礙，共振峰在能量軸上會變得很窄 — 窄到比波包自己的 ΔE 還窄。那時候量到的 T 是共振被「抹平」之後的平均（大約 0.67），完全看不出透明。試試看：手動把 V₀ 和 w 都設到 3，分析值仍然是 1.000，模擬值卻只有 0.67。上一頁的能量寬度，在這裡直接決定了你看不看得見一個現象。
6. 試「E ≈ V₀」。古典預期是「剛好過」，實際上 T 只有 0.6 左右。門檻在量子裡是模糊的。
7. 比較兩個 T。E 遠離 V₀ 時兩者很接近；E 貼近 V₀ 時差距最大 — 因為 T(E) 在那裡變化最陡，波包的能量寬度就被放大成了偏差。

🚀 穿隧不是實驗室裡的花招

• 太陽在發光 — 核心溫度其實不足以讓質子越過庫倫障壁，融合幾乎全靠穿隧。沒有穿隧就沒有陽光
• α 衰變 — Gamow 在 1928 年用穿隧解釋半衰期跨 20 個數量級，是量子力學最早的量化勝利之一
• 掃描穿隧顯微鏡 (STM) — 靠穿隧電流對距離的指數敏感，量到原子級的高低差
• 快閃記憶體 — 寫入與抹除就是讓電子穿過氧化層。你手機裡每一格 bit 都在用
• 晶片微縮的物理牆 — 閘極氧化層薄到幾個原子時，漏電流（穿隧）就擋不住了
• 酵素催化 — 質子與電子的穿隧在部分生化反應速率中扮演實質角色

📚 接下來

到這裡為止，所有奇怪的事都還可以說成「因為它是波」。最後一頁不行 —— 那裡要處理的是關聯：兩個分隔遙遠的測量結果，強相關到任何 「出發前就決定好答案」的模型都追不上。而且你可以自己跑實驗把它測出來。