Gravitational N-Body
兩個天體互繞，軌道會永遠閉合；加上第三個，軌道就再也算不出來了。 這一頁把「二體穩定、三體混沌」擺在同一個畫面上比較 —— 而且不是靠「看起來很亂」，是靠雙軌對照：同時跑兩份只差 δ 的模擬，看它們什麼時候分家。
在對數座標上，直線 = 指數成長 = 混沌； 曲線往右壓平、斜率越來越小，代表分離只是多項式成長，那是規律運動。 兩者的差別不在「亂不亂」，在這條線是不是直的。
快捷鍵：空白鍵 播放／暫停、R 重置
只有「隨機 N 體」情境可以調整
第二份模擬只有第一顆天體的 x 座標差這麼多
防止近距離飛掠時 1/r² 發散；調太大軌道會失真
辛積分器的證據：它應該一直很小
E < 0 表示系統整體束縛住
另一個該守恆的量
λ̂ 尚未估計
兩個天體在平面上有 8 個自由度，但動量、角動量、能量、還有 Laplace–Runge–Lenz 向量 把它們一路約束到只剩沿著圓錐曲線跑。方程式有封閉解，軌道永遠閉合， 一千年後在哪裡都能直接算出來 —— 不用一步一步跑。
多一個天體，自由度變 12，守恆量卻沒跟著變多。Poincaré 證明了三體問題不存在 足夠的解析積分，系統可以在相空間裡到處亂繞。 結果就是對初始條件的敏感依賴： 差一奈米，幾圈之後就是完全不同的命運。
太陽-行星-衛星是三體，卻穩得可以拿來對時。關鍵不是數量，是 層級分離：內外軌道尺度差夠遠， 內圈就只感覺到外圈的平均效果。試試「雙雙星（4 體）」—— 四個天體照樣穩。
用最直覺的 Euler 積分，二體圓軌道會在幾秒內肉眼可見地向外螺旋 —— 那是積分器在偷偷灌能量， 不是物理。Verlet 是辛 (symplectic) 積分器： 能量會在真值附近小幅震盪，但不會單向漂走。所以「能量漂移」那格才有資格當穩定性的證據。
時間步長固定為 dt = 5×10⁻⁴，用 accumulator 跟畫面更新率脫鉤。 這樣同一組初始條件在任何裝置上跑出來都一樣， 雙軌之間的差異才能保證真的只來自 δ。
重力 1/r² 在 r → 0 時發散，固定步長遇到近距離飛掠必炸。這裡改算 (r² + ε²)，而且位能也用同一個 ε —— 這樣軟化後的系統有一個精確守恆的 Hamiltonian，漂移讀數才不會騙人。
λ̂ 是把 ln d(t) 對 t 做最小平方擬合得到的斜率，取樣範圍限制在 「已脫離 δ 的雜訊底線、但還沒撞到系統尺度」之間。 它是有限時間的估計，不是嚴格的 Lyapunov 指數 —— 當成「這條線有多直、多陡」的量化指標來看就好。
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