貝爾不等式與 CHSH 實驗 · 自己動手把局域實在論測掉

📖 貝爾把哲學問題變成了實驗

1935 年 Einstein、Podolsky、Rosen 主張量子力學不完備：一定有某些「還沒被寫進理論」的隱藏參數，在粒子分開的那一刻就決定好了兩邊會量到什麼。這聽起來像是永遠吵不完的形上學。

1964 年 John Bell 做了一件驚人的事：他證明任何符合兩個條件的理論，某個統計量都必須滿足一個不等式 —— 而量子力學預測會違反它。 吵架變成了可以量的東西。

每一對光子送到兩端。Alice 從兩個角度 $a, a^{'}$ 隨機挑一個， Bob 從 $b, b^{'}$ 隨機挑一個。各自量到 +1 或 −1。累積四種組合的關聯：

E (a, b) = ⟨ A \cdot B ⟩ = \frac{N _{++} + N _{--} - N _{+-} - N _{-+}}{N _{total}}

然後組合成一個數字：

S = E (a, b) - E (a, b^{'}) + E (a^{'}, b) + E (a^{'}, b^{'})

假設每對粒子帶著一組隱藏參數 λ，而且每一邊的結果只取決於自己的角度與 λ（這就是「局域」）。那麼對任何單一個 λ：

A B - A B^{'} + A^{'} B + A^{'} B^{'} = A (B - B^{'}) + A^{'} (B + B^{'})

因為 $B, B^{'}$ 各是 ±1， $B - B^{'}$ 與 $B + B^{'}$ 之中必定一個是 0、另一個是 ±2。所以整個式子只能是 ±2。取平均只會讓它更靠近 0：

∣ S ∣ \leq 2

注意這個推導完全沒有用到量子力學，也沒有假設 λ 是什麼。它只用了兩件事：結果在被測量前就有值（實在論）、而且一邊的結果不受另一邊設定影響（局域性）。兩個假設加起來，天花板就是 2。

對糾纏態 $∣ Φ^{+} ⟩ = (∣ HH ⟩ + ∣ VV ⟩) / 2$ ，量子力學預測：

E (α, β) = cos (2 (α - β))

把角度取成 0°、45°（Alice）與 22.5°、67.5°（Bob），四個關聯都是 ±0.7071，組合起來 $S = 22 \approx 2.828$ 。超過 2 —— 而且超過的幅度是 40%，不是勉強擦邊。

2.828 也不是隨便一個數字。Tsirelson 證明了量子力學自己也有上限，就是 2√2。所以世界卡在一個很妙的位置：比古典能做到的多，但沒有多到無限。

量子模式，按「+100」。看 S 值上下亂跳，誤差棒很長 — 這時候它可能「超過 2」，但那不算數。
按「+2萬」。誤差棒縮成一小段，S 穩穩停在綠線附近。誤差隨 1/√N 縮小，這就是中央極限定理在替你把結論釘死。
切到「局域隱變數」，一樣跑 2 萬對。這個模型物理上完全合理 — 每顆光子帶著一個偏振角 λ 出發，兩邊各自照自己的角度回答。它剛好爬到 2.000 就停住（這個模型的理論值就是精確的 2），再怎麼跑都上不去。你可能會看到 2.01 之類的讀數 — 那是統計雜訊，所以上面的判定要求超出 3σ 才算數。
切到「最佳古典策略」。它作弊到極致（兩邊事先約好答案表），S 剛好停在 2.000。2 不是隨便畫的線，是真的天花板。
回到量子模式，把 Bob 的 b′ 從 67.5° 移到 22.5°（跟 b 一樣）。前兩項互相抵消，S 掉到 1.414 — 遠低於 2，古典模型完全解釋得了。糾纏還在，只是你挑錯角度就測不出來。順帶一提，只把 b 移到 0° 是不夠的，那樣 S 仍有 2.414。
把四個角度亂設，看「量子力學預測值」跟你跑出來的 S 是否吻合。吻合就是模擬沒騙你。

這是模擬，不是實驗。「量子模式」是照量子力學的預測抽樣的 — 它證明的是「量子力學預測 S = 2.83」，不是「大自然真的是這樣」。後者要靠真實實驗，而實驗已經做了。
偵測漏洞 — 如果偵測器只收到一部分光子，被漏掉的那些可能剛好是「不合作」的。 2013 年起用高效率偵測器補上。
局域性漏洞 — 如果 Alice 的設定有時間傳到 Bob 那邊，局域性假設就不成立。做法是把兩端拉遠、設定選擇快到光來不及跑。
自由選擇漏洞 — 如果測量角度的選擇跟 λ 有關聯，推導就垮了。所以這個模擬每一對都獨立隨機挑角度；真實實驗甚至用遙遠星系的星光來當亂數源。
2015 年幾組團隊做出了同時堵住主要漏洞的實驗，結論一致：不等式被違反。 Aspect、Clauser、Zeilinger 因此獲得 2022 年諾貝爾物理獎。

常見誤解：「所以資訊可以超光速傳遞」。不行。 Alice 單看自己那一側，結果永遠是 50/50 的隨機，不管 Bob 做什麼、有沒有做。相關性只有在兩邊的資料被拿到一起比對之後才浮現，而那需要一條普通的、不超光速的通訊管道。

被推翻的是「局域性」與「實在論」的組合。你必須放棄至少一個：要嘛結果不是出發前就決定好的，要嘛遠處的設定真的能影響這裡。物理學界主流選擇放棄前者 —— 但這是一個關於世界的實質結論，不是文字遊戲，而且是被實驗逼出來的。

六頁走完了：從彈簧上的特徵向量、格子上的 MCMC、傅立葉對偶、單光子統計、真的解出來的薛丁格方程，到現在這個可以自己測的關聯上限。回頭看，每一頁的工具都來自數學專區 — 物理沒有另外發明一套數學，它只是把那些工具指向了世界。

下一步可以往哪走：