🌊 不確定性原理 = 傅立葉對偶

流傳最廣的講法是「你要看電子，就得拿光子去撞它，撞了就打亂它的動量」。這個說法有它的歷史地位 （海森堡自己一開始就是這樣說的），但它不是不確定性原理的內容。

真正的內容是：一個粒子在被測量之前，就已經沒有同時確定的位置和動量了。 Δx 和 Δp 是那個波本身的兩個寬度，測不測都在那裡。而它們的關係，是純數學。

🎨 位置與動量是一對傅立葉變換

德布羅意告訴我們動量 $p=\hslash k$，也就是動量就是波數。 而一個波在「位置」與「波數」兩種描述之間，靠的正是傅立葉變換：

於是「粒子的位置與動量」這個物理問題，就變成「一個函式與它的傅立葉變換」這個數學問題。 而數學早就有答案了：

這個定理在訊號處理裡叫時頻不確定性，比量子力學還早被工程師用熟： 一個很短的脈衝必然佔用很寬的頻寬。同一條定理，沒有任何量子成分。

🧮 這一頁怎麼算的

沒有套用任何公式，全部是數值積分：

1. 在 1024 點的格子上取樣 $\psi (x)$，歸一化到 $\int |\psi {|}^{2}dx=1$
2. 做一次 FFT 得到 $\phi (k)$，同樣歸一化
3. 兩邊各自算 $\Delta =\sqrt{⟨u^2⟩-⟨u{⟩}^2}$，相乘

所以那個 0.500 不是寫死的常數，是量出來的。 你把寬度滑桿從一端拉到另一端，高斯模式下它會一直停在 0.500。

🏆 為什麼高斯剛好在下限

高斯函式的傅立葉變換還是高斯 — 它是這個變換的「不動形狀」。攤開來看： $|\psi {|}^2\propto e^{-x^2/2{\sigma }^2}$ 給出 $\Delta x=\sigma$， 而 $|\phi {|}^2\propto e^{-2{\sigma }^2{k}^2}$ 給出 $\Delta k=1/2\sigma$。 乘起來 $\sigma$ 直接消掉，剩下 ½ — 跟你選多寬完全無關。

其他形狀都比較差。方形波包的邊緣是「急轉彎」，急轉彎需要很多高頻成分去拼， 所以動量空間拖出一整排旁瓣，$\Delta p$ 被拉大。 波形越有稜角，頻譜越髒 — 這也是為什麼通訊系統要做脈衝整形。

技術細節：這裡的「方形」其實是超高斯 $e^{-(x/w{)}^8}$，不是真正的矩形。 真矩形的傅立葉變換是 sinc，尾巴衰減太慢，$⟨k^2⟩$ 在數學上發散 — 在有限格子上算出來的 Δp 會隨格子大小改變，那個數字沒有意義。 超高斯保留了平頂與旁瓣，但矩量是收斂的。

🎮 動手試試

1. 高斯模式，把寬度從 4 拉到 0.25。上面的峰急速變瘦、下面的峰同步變胖，而乘積釘在 0.500 不動。這是整頁最該看的一幕。
2. 推 k₀ 滑桿。下面的分布整包平移，寬度不變，乘積不變。上面的載波（藍線）疏密跟著變 — 那就是德布羅意波長。
3. 切到「近似方形」。乘積立刻跳到 0.5 以上，而且動量空間長出對稱旁瓣。稜角的代價。
4. 切到「雙峰」。動量空間出現週期性條紋 — 這就是雙狹縫干涉，只是畫在動量空間。兩個峰離越遠，條紋越密。下一頁會在真實的屏幕上再看一次同一件事。
5. 試著把乘積壓到 0.5 以下。做不到。這不是程式擋你，是定理擋你。

🚀 同一條定理的其他名字

• 雷達與聲納 — 距離解析度要短脈衝、都卜勒解析度要長脈衝，兩者不可兼得（所以才發明了 chirp 脈衝壓縮）
• 無線通訊 — 符元越短、佔用頻寬越大。這是頻譜規劃的物理底線，不是工程偷懶
• 音樂與聽覺 — 極短的音沒有明確音高。想聽出低音，就得聽夠久
• 影像處理 — Gabor filter 用高斯窗，正是因為它同時把空間與頻率的定位做到理論最佳
• 超短脈衝雷射 — 飛秒脈衝必然是寬頻的，這叫 transform-limited pulse

📚 接下來

既然量子的「波」就是普通的波，那雙狹縫的條紋一點也不神秘 — 任何波都會干涉。 下一頁要看的是真正奇怪的那半邊：明明是一顆一顆打到屏幕上的， 條紋卻還是長出來了。