🧲 二維 Ising 模型與相變

整個模型只有一條能量規則：相鄰的自旋同向就比較低能量。

$⟨i,j⟩$ 表示只加最近鄰的那四對。沒有磁場、沒有長程作用力、沒有別的參數 — 整個系統就這麼多。而它有相變。

🚶 這裡跑的就是 MCMC

我們沒有辦法直接從波茲曼分布 $P(s)\propto e^{-E(s)/T}$ 抽樣 — 2⁹²¹⁶ 種組態，配分函數算不出來。所以用 馬可夫鏈與 MCMC 那頁的老方法：

1. 隨機挑一格，提議把它翻面
2. 算出這一翻會讓能量變多少：$\Delta E=2J{s}_i{\sum }_{\text{鄰居}}{s}_j$
3. 如果 $\Delta E\le 0$，接受；否則以機率 $e^{-\Delta E/T}$ 接受

一模一樣的 Metropolis 準則。差別只在那頁的目標分布是二維的高斯，這頁的目標分布活在 9216 維上。 演算法沒變，問題的規模變了 — 而它照樣能跑。

小技巧：$\Delta E$ 只可能是 −8J、−4J、0、4J、8J 五個值，所以 $e^{-\Delta E/T}$ 可以查表，不用每次呼叫 exp()。一次掃描 9216 格，這個差別很有感。

🔥 為什麼會有一個臨界溫度

系統在最小化的不是能量，是自由能：

兩項在搶方向盤。$E$ 想要整齊（大家同向）， $S$ — 就是熵那一頁的熵 — 想要亂（組態數越多越好）。前面的係數 $T$ 決定誰說話比較大聲：

• 高溫：熵項壓倒能量項 → 亂序相，⟨|M|⟩ ≈ 0，畫面像雜訊
• 低溫：能量項勝出 → 有序相，⟨|M|⟩ → 1，整片同色
• T_c：兩邊剛好打平。此時關聯長度發散，你會看到所有尺度的磁區同時存在 — 大塊裡有小塊，小塊裡還有更小塊

Onsager 在 1944 年解出了這個模型的精確解，臨界溫度是 $T_c=2/\ln (1+\sqrt{2})\approx 2.269$。 你剛才那條用亂數跑出來的曲線，轉折就落在那條黃線上。

🎮 動手試試

1. 從 T = 3.5 開始慢慢往下拉。3.0、2.8、2.5 都還是雜訊 — 然後在 2.3 附近，大塊的色斑突然長出來。這就是相變，不是漸變。
2. 停在 T_c（按「跳到 T_c」）盯個 20 秒。你會看到各種大小的磁區在翻騰，沒有一個特徵尺度 — 這叫尺度不變性，也是碎形跟臨界現象的交會處。
3. 按「全部向上」再把 T 設在 1.5。系統幾乎不動，因為它已經在低能量狀態了。接受率會掉到很低 — MCMC 在低溫下走得很慢，這是真實的困難，不是 bug。
4. 按「隨機」再設 T = 1.5。這次你會看到磁區粗化：兩三塊大區域互相吞併，可能卡在條紋狀好一陣子。同樣的溫度、不同的起點，路徑完全不同。
5. 跑一次「自動掃描溫度」，看那條 S 形曲線怎麼長出來，轉折點跟黃線對得多準。
6. 看接受率：高溫接近 0.5（幾乎什麼都接受），低溫掉到個位數 %。這個數字是 MCMC 效率的體溫計。

🧭 誠實的但書

• 有限尺寸：96×96 不是無限大，所以曲線在 T_c 附近是圓滑的轉折而不是尖角。真正的相變只在熱力學極限下才有數學上的奇異點。
• 臨界慢化：越靠近 T_c，單格翻轉的 MCMC 收斂越慢（關聯時間發散）。所以 T_c 附近那幾個點的誤差最大 — 這是演算法的已知弱點，正經的做法會改用 Wolff 或 Swendsen–Wang 的整塊翻轉。
• |M| 而不是 M：低溫時系統會隨機選一個方向倒過去，全上或全下機率各半。取絕對值才不會在平均時互相抵消掉。

🚀 這個模型的射程

• 鐵磁性 — 居禮溫度以上磁鐵失去磁性，就是這條曲線
• 神經網路 — Hopfield network 與 Boltzmann machine 直接搬用這個能量函式
• 影像處理 — 馬可夫隨機場去雜訊，「鄰居應該相似」是同一條先驗
• 社會與流行病模型 — 意見同化、傳染臨界值，數學骨架一樣
• 普適性 — 完全不同的系統（磁鐵、液氣共存、合金），在臨界點附近的指數卻一模一樣。這是統計物理最漂亮的結果之一

📚 接下來

Chapter 1 到此結束：一頁精確解、一頁靠取樣。下一章換一個角度切入 — 量子力學那些「反直覺」的部分，有一大半其實只是波本來就有的性質， 而且你在傅立葉那兩頁已經看過了。