多路徑衰落與都卜勒 · 移動半個波長，訊號就不見了

📖 只有一個加法

接收機收到的不是一個訊號，是同一個訊號的許多份複本，各走不同長度的路徑抵達。每一份是一個複數相量：

h = i \sum a_{i} e^{- j 2 π L_{i} / λ}

就這樣。整頁所有現象都是這個加法的後果。

〰️ 為什麼是每半個波長一次

接收機移動 $Δ$ ，某條路徑的長度大約也改變 $Δ$ ，相位就轉了 $2 π Δ/ λ$ 。當 $Δ = λ /2$ ，相位轉了 π —— 原本相加的兩條路徑變成相減。

923 MHz 的半波長是 16 公分。所以你把手機從左手換到右手，收訊真的可能從滿格變成沒有 —— 這不是錯覺，是物理。 2.4 GHz 的 Wi-Fi 更誇張，半波長只有 6 公分。

🎯 為什麼會收斂成 Rayleigh

當有很多條路徑、而且沒有一條特別強時， $h$ 的實部與虛部各自是許多獨立小量的和。這正是中央極限定理的前提，所以兩者都趨近高斯分布。

一個實部與虛部都是零均值高斯的複數，它的模長服從 Rayleigh 分布：

f (r) = \frac{r}{σ ^{2}} e^{- r^{2} /2 σ^{2}}

右下角那張圖上的黃線就是它，沒有經過任何擬合 — 參數只用了「平均功率歸一」這一個條件。把反射體數量拉高、關掉直視路徑，長條圖會自己貼上去。

留下直視路徑的話，就多了一個固定的大相量，分布變成 Rician。直視路徑與散射功率的比值叫 K 因子 — K 越大，衰落越淺。這就是為什麼工程上願意花錢換取視線通暢。

為什麼 K 是滑桿而不是算出來的？ 因為在真實世界它也是量出來的，不是推導出來的 — 它取決於反射面的材質、角度、粗糙度，沒有一個好用的閉式解。這個模擬器用幾何決定每條路徑的相位（那才是 λ/2 週期與都卜勒的來源），而散射路徑的總功率由你設定的 K 決定。典型值：開闊視野 10～20 dB、市區 3～8 dB、室內或完全遮蔽則趨近 −∞（純 Rayleigh）。

🚗 都卜勒：衰落有多快

以速度 v 移動時，來自前方的路徑頻率被壓高、來自後方的被拉低，最大偏移是：

f_{d} = \frac{v}{λ}

時速 100 公里、923 MHz： $f_{d}$ 約 85 Hz。意思是通道每 12 毫秒左右就換一個樣子。這個數字決定了通訊系統的 同調時間 —— 通道估測要多久做一次、交錯編碼要鋪多長，全看它。

重點不是「頻率偏了一點」，而是不同路徑偏的量不一樣（都卜勒展開）。單一偏移可以補償，展開不行 —— 它就是通道在時間上會自己改變的原因。

🎮 動手試試

反射體設 0、保留直視路徑。下方曲線是一條平滑的斜線，沒有任何起伏 — 這是自由空間，也是上一章算的世界。
加到 1 個反射體。立刻出現規律的駐波紋，週期正好 λ/2。兩條路徑就足以製造衰落。
加到 12 個以上。紋路變得毫無規律，深谷動輒 −25 dB 以下。這就是都市環境。
關掉直視路徑（NLOS），看右下角的長條圖。它會貼上黃色的 Rayleigh 曲線 — 那條線是理論值，不是擬合出來的。
打開 LOS，把 K 從 20 dB 慢慢調到 −10 dB。K = 20 時最深的衰落只有 −10 dB 左右，訊號很穩；K 掉到 6 dB 以下，深谷立刻變成 −30 dB。同樣的反射體、同樣的幾何，只是直視路徑的份量不同。K 很低時長條圖也會回頭貼上 Rayleigh — 因為那時直視路徑已經不重要了。
按「開始移動」，盯著左邊的相量圖。那些小相量各自以不同速率旋轉，合成向量（青色）忽長忽短 — 當它縮到接近原點，就是一次深衰落。
把頻率拉到 5800 MHz。衰落間距從 16 公分縮到 2.6 公分，曲線變得極度密集。高頻的通道「更難捉摸」，這是實際後果之一。
把速度從 5 拉到 120 km/h。空間圖形沒變，但都卜勒頻移變成 24 倍 — 同樣的起伏，你以 24 倍的速度穿過它們。

🛠️ 工程上怎麼對付它

空間分集 / MIMO — 兩根隔開 λ/2 以上的天線，很難同時掉進深谷。這是 MIMO 最原始的動機。
頻率分集 / OFDM — 不同頻率的衰落位置不同，把資料打散到整個頻寬上，再用編碼補回來。
時間分集 / 交錯 — 把位元在時間上打散，讓一次深衰落只吃掉每個碼字的一小部分。
擴頻 — LoRa 與 CDMA 的做法：把符元拉得比通道的變化還長，用處理增益換抗性。
留餘裕 — 最土但最常用。鏈路預算那頁要留 10～20 dB，多半就是留給這一頁。

🧭 誠實的但書

這是二維的、單次反射的模型。真實環境是三維、多次反射、還有穿透與散射。但衰落的統計性質對這些細節出奇地不敏感 — 這正是 Rayleigh 模型好用的原因。
窄頻假設。這裡所有路徑用同一個載波相位處理，等於假設訊號頻寬遠小於同調頻寬。寬頻系統還會遇到頻率選擇性衰落（不同頻率衰落程度不同），那需要延遲功率分布才畫得出來。
畫面上的移動速度被放慢了，否則 λ/2 的漣漪會快到看不見。都卜勒讀數用的是你設定的真實速度。

📚 接下來

到這裡為止，都在講「訊號會被弄壞多少」。下一章換一個問題： 就算通道給定了，理論上最多能塞多少資訊進去？ 答案是一條沒有任何技術跨得過去的線。

🌫️ 多路徑衰落與都卜勒