🧮 香農容量極限 — 這條線誰都過不去

C 是通道容量：低於它，存在某種編碼可以把錯誤率壓到任意小； 高於它，錯誤率無法降到零。不是「現在的技術做不到」，是做不到。

單位是 bit，而 bit 的定義來自 熵那一頁。 容量的正式定義是輸入與輸出之間互資訊的最大值 — 「訊號告訴了你多少關於輸入的事」，扣掉雜訊搞混的部分。

🔋 旋鈕一：功率（報酬遞減）

高 SNR 時 ${\log }_2(1+S/N)\approx {\log }_2(S/N)$，所以 每多 3 dB 功率只多 1 bit/s/Hz。 要讓速率加倍，功率得平方 —— 而電池不是這樣長的。

📻 旋鈕二：頻寬（會撞到天花板）

乍看 C 正比於 B，加頻寬就好。但雜訊功率 $N=N_{0}B$ 也跟著長。 固定接收功率 S，把 B 推向無限：

它收斂。右邊那張圖上的紅色虛線就是這個天花板。 再多的頻譜也換不到更多容量 —— 唯一的辦法是加功率。

由此可以導出通訊理論最著名的一個數字：每個位元所需的能量與雜訊密度之比，下限是 $E_b/N_0=\ln 2=-1.59\mathrm{dB}$。任何系統、任何編碼，都不可能低於它。

🔍 那 LoRa 是怎麼回事

LoRa 的 SF11 在 SNR = −17.5 dB 下還能解調 — 訊號功率只有雜訊的 1.8%。很多人第一反應是「這不是違反物理嗎」。

把數字代進去就知道沒有：

容量是正的，只是很小。而 LoRa 實際只跑 1.07 kbps， 大約是理論上限的 17% —— 完全在容量之內，一點都不神奇。

關鍵在於 ${\log }_2(1+x)\approx x/\ln 2$ 在 x 很小時仍然大於零。 負 SNR 不代表容量為零，只代表你得用很寬的頻寬換很低的速率。 LoRa 就是這樣做的：用 250 kHz 的頻寬送 1 kbps，把頻譜效率壓到 0.004 bit/s/Hz， 換來 −17.5 dB 的工作點，也就是好幾十公里的距離。

這就是「用速率換距離」的精確版本。展頻不是在對抗香農，它是在沿著香農曲線往左下角走。

🎮 動手試試

1. 按 LoRa。操作點落在紅色區域裡（訊號在雜訊底下），但容量曲線在那裡仍然是正的。綠點（實際速率）確實在青點（容量）下面。
2. 切到 Wi-Fi。SNR +25 dB、頻寬 20 MHz，容量高達 166 Mbps，實際跑 65 Mbps — 用掉 39%。沒有任何系統跑到 100%，因為那需要無限長的碼字。
3. 切到 LTE：用掉 61%，是四者中最高的。LTE 的 turbo / LDPC 編碼確實是逼近香農的工程成果。
4. 自己把 SNR 從 −30 慢慢推到 +40。低 SNR 段容量幾乎線性成長，高 SNR 段變成對數 —— 前面那段每 3 dB 幾乎翻倍，後面那段每 3 dB 只加一點。
5. 看右邊那張圖，把頻寬滑桿一路拉大。曲線爬升然後攤平，貼在紅線上再也上不去。
6. 試著讓實際速率超過容量。做不到 — 四個預設全都在線下。這不是我設定的限制，是把真實規格代進公式的結果。

🧭 誠實的但書

• 這是 AWGN 通道的容量：加成性白色高斯雜訊、單一天線、通道已知且不變。真實通道會衰落（上一頁），衰落通道的容量是另一套公式，通常更低。
• MIMO 可以「突破」它 —— 但沒有違反它。多天線等於開了多條平行通道，每一條各自遵守香農。容量正比於天線數，公式本身沒被打破。
• 容量是可達性的陳述，不是建構方法。Shannon 證明了存在達到 C 的編碼，但沒說怎麼找。人類花了 50 年才用 turbo 碼與 LDPC 實際逼近它。
• 預設的靈敏度與速率取自規格書，雜訊指數統一假設 6 dB。不同晶片會有出入，數字用來建立量級感，不要拿去做工程設計。

📚 接下來

這一頁講的是一條鏈路的極限。最後一頁把場景換成一群節點共用同一個頻道 —— 當每個封包都要佔用頻道整整三分之一秒，「該不該轉送」就變成一個很貴的決定。