菲涅耳區與刀鋒繞射 · 看得到不代表通得過

📖 為什麼電波不是一條線

從發射點到接收點，有無限多條可能的路徑。走直線的那條最短，但只要另一條路徑 多走的距離小於半個波長，它抵達時的相位就跟直線路徑還算對得上，會貢獻而不是抵消。所有這樣的點形成一個橢球體，叫做第一菲涅耳區。

它在路徑上某一點的半徑是：

r_{1} = \frac{λ d _{1} d _{2}}{d _{1} + d _{2}}

兩個直覺：中點最粗（所以山擋在中間最傷）， 波長越長越粗（所以低頻鏈路需要更多淨空 —— 這常常反直覺）。

代個數字感受一下：923 MHz、12 km 的鏈路，中點的第一菲涅耳半徑是 約 31 公尺。也就是說即使雙方都看得到對方，中點附近有一棟 20 層樓就已經吃掉一大半。

繞射損耗由一個無因次參數 ν 決定（h 是障礙物頂端超過直視線的高度，可以是負的）：

ν = h \frac{2 ( d _{1} + d _{2} )}{λ d _{1} d _{2}}

當障礙物剛好在直視線上（h = 0、ν = 0），損耗是 6 dB — 注意這是「看得到卻已經損失一半功率」的意思。要讓損耗趨近於零，障礙物必須退到 $ν \approx - 0.8$ 以下，換算回來大約就是留出第一菲涅耳半徑的 60%。

這就是那條工程師隨口就能講出來的規則的出處。它不是經驗法則，是這條曲線的數值解。

刀鋒繞射的公式來自菲涅耳積分，跟雙狹縫那一頁的來源完全相同 —— 都是「把所有路徑的振幅加起來」。差別只在那裡的障礙是一片開了兩條縫的板子，這裡是一座山；那裡看的是明暗條紋，這裡看的是總功率少了幾 dB。

順帶一提：正因為是繞射，電波才能翻過山頭。如果電波真的只走直線，山的另一側會是完全的死區。低頻繞射能力強，所以 145 MHz 的手持機翻得過稜線，而 5 GHz 的 Wi-Fi 連一道牆都很勉強。

長距離鏈路還有一個障礙物是地球本身。大氣的折射率隨高度遞減，會把電波往下彎一點，效果等同於地球半徑變大 —— 標準模型取 k = 4/3。等效隆起高度：

h_{b u l g e} [m] = \frac{d _{1} d _{2}}{12.75 k} (d in km)

50 km 鏈路的中點隆起約 36 公尺。這就是為什麼超過幾十公里的鏈路，天線一定要架很高 —— 不是為了避開樹，是為了避開地球。

刀鋒模型是理想化的。真實山頭是圓的，圓化的山脊損耗會比刀鋒更大（ITU-R P.526 另有修正項）。這裡的數字是樂觀的下界。
只有一個障礙物。多重障礙要用 Deygout 或 Epstein–Peterson 之類的方法逐一疊加。
k = 4/3 是標準大氣。逆溫層會讓 k 變得很大（超折射，訊號傳異常遠），有時甚至變成負的（次折射，鏈路無故中斷）。這是實務上長鏈路不穩定的一大來源。
圖是垂直放大的，倍率標在畫面右上角。用不放大的比例畫，整條鏈路會是一條看不見厚度的線。

這一頁的障礙物是靜態的，算一次就知道結果。下一頁的破壞則是隨時間與位置劇烈跳動的 —— 而且製造它的不是障礙物，是電波自己。