天線陣列與波束成形 · 方向圖就是一個傅立葉變換

📖 一個式子，三個結論

把 N 個相同的天線排成一直線，間距 d，第 n 個餵進振幅 $a_{n}$ 與遞增相位 $n β$ 。遠場的合成振幅是：

A F (θ) = n = 0 \sum N - 1 a_{n} e^{jn (k d s i n θ + β)}, k = \frac{2 π}{λ}

現在做一個代換：令 $u = sin θ$ 。式子變成 $\sum a_{n} e^{jnk d u}$ —— 這就是把 $a_{n}$ 做離散傅立葉變換，只是「頻率軸」變成了角度。天線的激發分布與它的方向圖，是一對傅立葉變換。

認清這件事之後，三個看起來無關的現象就變成同一件事的三種說法：

這是不確定性原理那一頁的 $Δ x \cdot Δ k \geq \frac{1}{2}$ 換了個名字。天線是「x 空間」的寬度，波束是「k 空間」的寬度，兩者相乘有下限。實用近似：

HPBW \approx 0.886 \frac{λ}{N d} (rad)

把 N 從 8 拉到 16，孔徑加倍，波束寬度就剛好減半。這也是為什麼衛星地面站的碟型天線那麼大 — 波束要夠窄才對得準。

均勻激發等於在孔徑上開一個矩形窗，它的變換是 sinc，第一旁瓣固定在 −13.2 dB，跟 N 無關。把邊緣的元件餵小一點（錐削），旁瓣掉到 −33 dB 甚至更低 — 代價是主瓣變寬、方向性下降。

這跟不確定性那一頁的「方形波包 vs 高斯波包」是同一個實驗。 那裡稜角讓動量空間長出旁瓣；這裡稜角讓角度空間長出旁瓣。訊號處理管它叫加窗，天線工程管它叫錐削。

陣列是在空間上取樣一個連續孔徑。取樣就有 Nyquist 條件：當 $d > λ /2$ ，角度空間就會發生混疊，一個一模一樣的主瓣出現在別的方向。天線工程叫它柵瓣（grating lobe），訊號處理叫它混疊。

精確條件（含波束掃描）：

\frac{d}{λ} (1 + ∣ sin θ_{0} ∣) \geq 1

把遞增相位設成 $β = - k d sin θ_{0}$ ，主瓣就轉到 $θ_{0}$ 。沒有任何機械轉動，只是每個元件的訊號延遲不同 — 這就是相位陣列（phased array）。

但掃描不是免費的：離開正前方之後，陣列在那個方向的投影孔徑變成 $N d cos θ_{0}$ ，所以波束按 $1/ cos θ_{0}$ 變寬。掃到 60° 時波束寬度是正前方的兩倍。

N = 1：一個元件沒有方向性，方向圖是一個半圓，方向性 0 dBi。這是所有比較的基準。
把 N 從 2 一路推到 24。波束越來越尖，方向性讀數就是 10log₁₀(N) — N = 8 給 9.03 dBi，N = 16 給 12.04 dBi。元件數加倍 = 增益 +3 dB。
N = 8、間距 0.5λ、均勻：HPBW 約 13°、旁瓣 −13 dB。換成漢明窗：旁瓣掉到 −33 dB，但 HPBW 變成 20°。你買不到兩全其美。
把間距推到 1.0λ：正前方以外突然長出第二個一樣高的主瓣。你的訊號有一半送給了錯誤的方向 — 或者更糟，你會從那個方向收到干擾。
間距設 0.5λ，把指向從 0° 掃到 60°。波束轉過去了，但同時變胖 — 13° 變成約 26°，正好是 1/cos60° = 2 倍。
間距 0.7λ + 指向 60°：柵瓣警告亮起。掃描讓混疊條件更容易被觸發。

這裡畫的是「陣列因子」，假設每個元件本身是全向的。真實天線的方向圖是陣列因子乘上單一元件的方向圖（pattern multiplication），所以實際場型會被元件本身再修一次。
沒有互耦。靠得很近的天線會互相影響輸入阻抗與場型，這在 0.5λ 以下相當顯著，是實務上最麻煩的部分之一。
方向性不等於增益。增益 = 方向性 × 效率，實際天線還要扣掉歐姆損耗與阻抗不匹配。
旁瓣讀數在大角度掃描時不可靠：主瓣變得太寬，程式用來判定「第一個零點」的方法會提早收手。看正前方附近的數字最準。

Chapter 1 假設訊號在自由空間裡飛。下一章開始把現實加回來，第一件就是： 看得到，不代表通得過。