🧊 4×4 矩陣變換

線性代數最核心的觀念是：矩陣不是一堆死數字，而是一個「動作」。它把一個向量送進去，吐出另一個向量。從這個角度看，所有線性代數的招式（投影、對角化、SVD ...）都是在問同一件事：這個動作到底在做什麼？

4×4 是 3D 圖學的標準尺寸。為什麼不是 3×3？因為 3×3 矩陣只能做旋轉、縮放、剪切這些「動原點不變」的變換，做不了平移。把座標多加一個 $w=1$ 變成 4 維（叫做齊次座標），平移就能塞進矩陣最右邊那一欄裡。代價就是多了一列 $[0,0,0,1]$，這列除非要做透視投影，否則永遠是這個樣子。

🎮 動手試試

1. 點 縮放 → 看立方體在 X 方向變寬、Y 方向被壓扁。注意對角線上的數字直接控制每個軸的縮放比例。
2. 點 繞 Z 旋轉 45° → 立方體繞 Z 軸轉了。注意數字裡那些 0.7071，就是 cos45° 和 sin45°。
3. 點 鏡射 → 立方體翻面了。看下面的行列式變成 −1，這就是「翻過去」的數學記號。
4. 手動把 M[0][0] 改成 0 → 立方體被壓成一個平面。行列式變成 0，代表這個矩陣把整個 3D 空間壓扁了，沒辦法還原。
5. 連續點不同的 preset → 你會發現變換是「取代」不是「累加」。如果想做組合，得自己把矩陣相乘（之後的章節會玩到）。

💡 行列式在說什麼

右下角那個 $\det (M)$ 數字，其實是「這個變換把單位立方體的體積放大幾倍」：

• $\det =1$ — 體積不變（旋轉、平移都是這樣）
• $\det =2$ — 體積變兩倍（縮放、剪切會改變）
• $\det <0$ — 翻面了（鏡射、反射）
• $\det =0$ — 壓扁了。這個矩陣不可逆，因為你沒辦法把一個平面「還原回」一個立方體。