🔄 換基底 Change of Basis

線性代數最容易被混淆的事情之一：「向量」跟「向量的座標」不是同一件事。

向量 $\mathbf{v}$ 是空間裡一支真實的箭頭 — 它有自己的方向跟長度，跟你怎麼描述它無關。座標 $(x,y,z)$ 是當你選定一組「尺」（基底）之後，這支箭頭在那組尺下的讀數。換一組尺，讀數就不一樣。

📏 換基底公式

把新基底 $B=[{\mathbf{b}}_1|{\mathbf{b}}_2|{\mathbf{b}}_3]$（每一欄是一支新基底向量，用標準座標表示）。要把 $\mathbf{v}$ 在新基底下的座標算出來：

反過來，已知新基底下的座標 $[\mathbf{v}{]}_{\text{new}}$，回到標準座標：

意思就是：「新座標的第 i 個分量 = v 是 b_i 的多少倍」的組合。

💎 正交基底的特殊禮物

如果新基底 $B$ 是正交且每個向量都是單位長（叫「正交歸一基底」, orthonormal），那麼：

不用算反矩陣 — 直接轉置就好！這就是為什麼大家想盡辦法找正交基底（PCA、Fourier、QR 分解…）。試試 繞 Z 旋轉 45° 那個 preset，比較 $B$ 跟 $B^{-1}$ 就會看到。

🎮 動手試試

1. 點 繞 Z 旋轉 45°，把 v 設成 (1, 0, 0) → 標準座標下是「沿 X 軸」，新座標下變 (0.71, -0.71, 0)。同一支箭頭，數字不一樣。
2. 點 縮放基底，把 v 設成 (2, 0.5, 0) → 新座標下變 (1, 1, 0)。為什麼？因為 b₁ 比較長，所以「同一個 v」算起來只是 b₁ 的 1 倍。
3. 點 剪切基底 → 注意 $B^{-1}\ne B^{\top }$。這不是正交基底，沒有「轉置就是反矩陣」的好性質。
4. 點 退化基底 → $\det (B)=0$，新座標無法計算（三個基底向量擠在一個平面裡，撐不起 3D 空間）。

🚀 CS 上有什麼用

• 圖學的座標管線：物件座標 → 世界座標 → 視圖座標 → 螢幕座標 — 一連串換基底。每個 Model · View · Projection 都是一次換基底。
• PCA（主成分分析）：把資料從原始基底換到「主成分」基底 — 在新基底下，第一個維度抓最多方差，可以丟掉後面的小維度做降維。
• Fourier 變換：時間訊號是「時間基底」下的座標。FFT 把它轉到「頻率基底」 — 同一個訊號，在頻率基底下就看得出有哪些主音。
• 量子運算：測量一個量子態，就是把它的向量表示換到那個觀測量的特徵基底，然後讀出座標分量。